Von Koordinatenform zu Parameterform und zur Normalenform einer Ebene

Koordinatenform

Die Koordinatenform einer Ebene ist gegeben durch die Gleichung $$Ax + By + Cz + D = 0$$, wobei A, B, C und D reelle Zahlen sind.

Parameterform

Die Parameterform einer Ebene ist gegeben durch das Gleichungssystem $$\begin{aligned} x & = x_0 + at \\\ y & = y_0 + bt \\\ z & = z_0 + ct \end{aligned}$$ wobei $x_0, y_0, z_0$ ein Punkt auf der Ebene ist und $\mathbf{a} = (a, b, c)$ ein Richtungsvektor der Ebene ist.

Normalenform

Die Normalenform einer Ebene ist gegeben durch die Gleichung $$\mathbf{n} \cdot (x - \mathbf{x}_0) = 0$$ wobei $\mathbf{n} = (A, B, C)$ ein Normalenvektor der Ebene ist und $\mathbf{x}_0 = (x_0, y_0, z_0)$ ein Punkt auf der Ebene ist.

Beispiel

Eine Ebene sei gegeben durch die Koordinatenform $$2x - 3y + 4z - 5 = 0$$. Um diese Ebene in Parameterform und Normalenform umzuwandeln, gehen wir wie folgt vor:

• Parameterform: Wir wählen einen Punkt auf der Ebene, z.B. $(1, 1, 1)$, und einen Richtungsvektor, z.B. $\mathbf{a} = (2, -3, 4)$. Dann erhalten wir das Gleichungssystem $$\begin{aligned} x & = 1 + 2t \\\ y & = 1 - 3t \\\ z & = 1 + 4t \end{aligned}$$
• Normalenform: Wir setzen $A = 2, B = -3$ und $C = 4$ und erhalten den Normalenvektor $\mathbf{n} = (2, -3, 4)$. Dann erhalten wir die Normalenform $$2(x - 1) - 3(y - 1) + 4(z - 1) = 0$$